la rivincita di Zenone

Tra i paradossi di Zenone di Elea, l'allievo di Parmenide famoso per aver ideato il rompicapo di Achille e la tartaruga e che voleva dimostrare l'impossibilità del movimento, quello meno famoso e ricordato – del quale non si parla quasi mai – è quello detto "delle masse nello stadio" (ma non parla di tifosi di calcio e ricordo che lo stadio per i Greci era anche un'unità di misura, pari a 185 metri). Paradosso che però ha qualche speciale motivo di interesse legato anche all'attualità.

Aristotele lo riassume nel capitolo 14 del VI libro della Fisica, in realtà in modo piuttosto criptico. Io avrei voluto riportare il passo di Aristotele nella sua integrità, piuttosto che una parafrasi, e anzi mi accingo a farlo, ma mi accorgo che si tratta di un testo molto difficile, e il cui senso difatti viene pure reso in maniera diversa a seconda delle diverse lingue in cui è tradotto. Qui mi affido alla traduzione in italiano di Luigi Ruggiu:

"[…] Il quarto argomento concerne corpi uguali che si muovono nello stadio in senso contrario a corpi uguali, gli uni considerati a partire dalla fine dello stadio, gli altri a partire dalla metà, entrambi con uguali velocità. Zenone ritiene, con questo argomento, di conseguire il risultato che la metà del tempo è uguale al doppio".

Il paradosso, o meglio l'antinomia di Zenone dunque consiste in questo, che una stessa cosa sia al medesimo tempo la metà e il doppio di una certa misura. Per comprendere come sia possibile dobbiamo immaginarci tre gruppi di masse contigue, o tre segmenti, A, B, e C.  

"[…] Ad esempio, siano AA corpi uguali che stanno fermi, mentre BB siano corpi uguali ai primi per numero e per grandezza, che partono dalla metà di A, i corpi CC uguali a questi per numero e per grandezza, e con velocità uguale a B, partono invece dagli estremi".

Ovvero, nella mia interpretazione: A si trova in riposo più o meno al centro dello stadio e non si muove. B si muove verso destra ed il suo estremo di sinistra si trova a metà di A, mentre C, parallelo ad A e B, si muove in direzione opposta, ma il suo estremo di sinistra tocca l'estremo destro di A. Così:

    BBBB ---->

AAAA

 <----CCCC

"Accade pertanto che il primo B giunge all'estremità nello stesso tempo in cui vi è il primo in C, in quanto si muovono l'uno accanto all'altro. Sicché capita che C abbia compiuto il percorso lungo tutti i B, mentre B ha percorso la metà della lunghezza degli A; dunque anche il tempo è metà, perché v'è ugualianza di ognuno di essi in rapporto a ciascun corpo. Ma nello stesso tempo accade che B avrà compiuto il percorso lungo tutti i C: saranno infatti nello stesso tempo agli estremi opposti il primo C e il primo B, in quanto un tempo uguale sarà impiegato per ciascuno dei B e per ciascuno degli A, come egli sostiene, dal momento che entrambi si muovono lungo gli A in un tempo uguale". 

La parte in corsivo è quella che mi ha creato i maggiori problemi, perché non riuscivo a trovare un modo di disporre le masse e farle muovere in modo da farle combaciare con quelle parole, ma penso infine di aver trovato una soluzione soddisfacente con la disposizione di cui sopra. Ovvero partendo da quello schemino, e definendo t come il tempo impiegato da un B (o da un C) a percorrere lo spazio di un elemento di A, dopo un t la situazione dovrebbe essere questa:

        BBBB ---->

   AAAA
 <----CCCC

"Il primo B giunge all'estremità nello stesso tempo in cui vi è il primo in C" ovvero il primo B e il primo C sono allineati con l'estremo degli A (e anche fra se stessi). Adesso però notiamo una circostanza singolare. Ovvero che prima B e C erano distanziati da uno spazio corrispondente a due A, mentre adesso sono allineati ("Sicché capita che C abbia compiuto il percorso lungo tutti i B"), e però B, nello stesso intervallo di tempo t ha superato un solo A ("mentre B ha percorso la metà della lunghezza degli A"). Quindi sembrerebbe che uno stesso intervallo di tempo (t) percorso alla stessa velocità faccia percorrere contemporaneamente un dato spazio (un A) e il suo doppio (due A).

Quello che Zenone ha scoperto, insomma, è la relatività del moto, il fatto che un oggetto può dirsi andare a una certa velocità solo in riferimento a un altro oggetto, e questo anche se Zenone non si spinge fino a mettere in dubbio la realtà dello stato di quiete delle masse A, cosa che del resto non avrebbe avuto senso dal punto di vista dalla filosofia eleatica, per la quale il movimento non esiste e tutto è immobile. Oggi, abituati come siamo alla relatività galileiana, nessuno si stupisce più tanto del fenomeno, e a dirla tutta nemmeno Aristotele sembra particolarmente impressionato. C'è anche da dire che noi conosciamo il paradosso appunto solo attraverso le parole di Aristotele, il quale però potrebbe anche non aver capito quel che intendeva Zenone (come se già non fosse difficile capire Aristotele), quindi alcuni studiosi propongono anche interpretazioni più fantasiose, ed è tutto bellissimo. Ma io non vedo perché l'argomento di Zenone dovrebbe essere più sottile di questo, essendo del tutto in sintonia col maestro Parmenide, per cui è una contraddizione in termini anche semplicemente dire che "il non essere è".

Soprattutto, e questa è in fondo l'utilità della filosofia, è giusto stupirci di quello che sembra ovvio (in questo caso il fatto che la velocità di un oggetto è relativa) perché ci prepara a percepire quello che non ci sembra affatto ovvio. Ad esempio che anche il tempo non è un assoluto ma è relativo, cosa che è stata intuita solo agli inizi del XX secolo grazie agli sforzi di un certo signor Einstein. Insomma, se Zenone trovava strano che un oggetto potesse andare a due velocità diverse – contemporaneamente e in riferimento a diversi osservatori –, quello che agli scienziati parve strano, quando scoprirono le onde elettromagnetiche, fu che la luce non sembrava affatto comportarsi così (una buona e sintetica spiegazione si trova anche in questo post di Amedeo Balbi).

La luce si propaga nel vuoto sempre alla stessa velocità, qualunque sia la direzione verso la quale si muove e per qualunque osservatore. Il che significa che se al posto di quelle masse nello stadio dell'esempio di Zenone mettessimo dei treni di fotoni non avremmo più alcun paradosso riguardo alle velocità. Quel che accadrebbe è che, tenendo ferma la velocità della luce, costante, sarebbero tutti gli altri parametri a diventare relativi, a partire dal tempo. Ecco quindi che dal punto di vista di B l'orologio di C sarebbe più lento, e viceversa dal punto di vista di C sarebbe l'orologio di B ad essere più lento. Non potremmo neanche più disegnare uno schemino come quello di prima – che mostra gli spostamenti dei vari oggetti dopo un tempo t – valido per tutti, proprio perché non c'è un unico t al quale far riferimento. Al limite dovremmo disegnare degli schemi differenti per A, per B e per C.

Ora, l'ideazione della teoria della relatività potrebbe sembrare uno smacco per la filosofia degli eleati. Si direbbe, a prima vista, che a Parmenide garberebbe molto di più un universo newtoniano con spazio e tempo assoluti e uguali per tutti rispetto all'universo einsteniano dove l'unica costante è la velocità della luce e tutto il resto dipende dall'osservatore. In realtà per Parmenide non solo il movimento, ma anche tempo e spazio erano illusioni, quindi non è che avrebbe dovuto necessariamente preferire una teoria all'altra. Ma c'è di più.

Le teorie scientifiche tendono all'economia, e sono quindi delle buone teorie quando riducono i fenomeni da spiegare. Prima di chiedersi "perché accade questo" ci si dovrebbe sempre chiedere "questo accade davvero"? Ne abbiamo un buon esempio proprio con la rivoluzione galileiana che fa piazza pulita della fisica aristotelica semplificandone l'ontologia stessa. Se Aristotele infatti cercava una spiegazione della "persistenza" del moto dei corpi e quindi doveva elaborare una complicata teoria dei vortici che spiegasse per quale motivo un sasso lanciato in aria continuasse a muoversi, per Galileo quel che c'è da spiegare è semplicemente la variazione del moto. Corpi in riposo e corpi in movimento per lui pari sono (e proprio perché non esiste un punto di vista privilegiato per dire chi è in riposo e chi in movimento) e le uniche cose che richiedono una spiegazione sono le accelerazioni, i cambiamenti di moto.

Con la relatività ristretta che abbiamo appena visto viene compiuto un ulteriore passo, perché la relativizzazione di tempo e spazio rende ancora più illusoria ed evanescente la realtà del movimento, ma è con la teoria della relatività generale, supremo sforzo intellettuale di Einstein, che l'universo comincia davvero a somigliare a un sogno parmenideo, e che ciò che a noi appare come disordine e caos diventa quiete e armonia nella descrizione spaziotemporale e non-euclidea fornita dalla teoria einsteiniana. Laddove, ad esempio, la linea di universo corrispondente ad un satellite in orbita (moto circolare, accelerato), diventa una geodetica se si considera la curvatura dello spazio tempo, e quindi espressione della tendenza generale a seguire il percorso più breve tra due punti.

Abbiamo visto quindi come Aristotele sbeffeggiava Zenone, ma anche come Zenone e Parmenide abbiano infine avuto la loro rivincita.

Un ringraziamento agli utenti di Friendfeed, in particolare Azioneparellela, Fabrizio Venerandi, e Milla, che mi hanno aiutato con Aristotele.